Inégalité de concentration

Propriété Inégalité de concentration

Soit $(X_1,\dots ,X_n)$ un échantillon de  $n$ variables aléatoires indépendantes et  $M_n$ la variable aléatoire moyenne de cette échantillon.
Alors, pour tout réel  $\delta$ strictement positif,  $P(|M_n-E(X_1)|⩾\delta )⩽{\displaystyle \frac{V(X_1)}{n{\delta }^2}}$ .

Démonstration

On applique l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à la variable aléatoire  $M_n$ .
Pour tout réel strictement positif  $\delta$ , on a alors  $P(|M{(}_n)-E(M_n)|⩾\delta )⩽{\displaystyle \frac{V(M_n)}{{\delta }^2}}$ .
Or,  $E(M_n)=E(X_1)$  et  $V(M_n)={\displaystyle \frac{V(X_1)}{n}}$ .
On a donc bien   $P(|M_n-E(X_1)|⩾\delta )⩽{\displaystyle \frac{V(X_1)}{n{\delta }^2}}$

Exemple

Soit  $X$ une variable aléatoire d'espérance 3 et de variance 100.
Soit $n$  un entier naturel non nul.
On considère un échantillon $(X_1,\dots ,X_n)$  de variables aléatoires indépendantes de même loi que  $X$ et on note $M_n={\displaystyle \frac{1}{n}}(X_1+X_2+\dots +X_n)$ .
Pour tout réel  $\delta$ strictement positif, on a alors  $P(|M_n-E(X_1)|⩾\delta )⩽{\displaystyle \frac{V(X_1)}{n{\delta }^2}}$ .
C'est-à-dire,  $P(|M_n-3|⩾\delta )⩽{\displaystyle \frac{100}{n{\delta }^2}}$ .
En particulier, pour $n=100000$ et  $\delta =0,1$ , on a  $P(|M_n-3|⩾0,1)⩽{\displaystyle \frac{100}{100000\times 0,1^2}}$  c'est-à-dire  $P(|M_n-3|⩾0,1)⩽0,1$ .
En passant par le complémentaire, on obtient :  $P(|M_n-3|<0,1)=1-P(|M_n-3|⩾0,1)⩾0,9$ .

Bien que la variable aléatoire  $X$ ait une grande variance, si l'on répète un grand nombre de fois l'expérience aléatoire, la moyenne des résultats est très proche de l'espérance de  $X$ : avec une probabilité supérieure à 0,9, la moyenne se situe entre 2,9 et 3,1.